数学笔记 – Z型线段分割平面问题

原题：What’s the maximum number of regions de nable by n zig-zag lines, each of which consists of two parallel in nite half-lines joined by a straight segment?

思路一

计算每增加一个Z型折线会增加多少个分割区域。自己算没有算出来。

而书上给出的答案说”Given n straight lines that define L(n) regions, we can replace them
by extremely narrow zig-zags with segments suffciently long that there are
nine intersections between each pair of zig-zags.” 我也看不太懂，于是就换了种思路。

思路二

平面上的n条直线，可以将平面分成1+n(n+1)/2 个区域，这个是比较容易得出的。

那么，如果是3n条直线，则可以将平面分割成1+3n(3n+1)/2 个区域。将这三n个直线三三组合成一个Z型折线，那么每个组合就会比原来少分割5个区域（这个问题可以简化为“一条直线与三条直线”比“一条直线与一个Z型折线”分割出来的区域多5块）。

那么n个折线，就能最多将平面分割为 1+3n(3n+1)/2 – 5n 个区域。

题目应该不算难，找思路找了好久。

数学还是很有意思的。